考慮電子在周期勢場中的運動，它有兩個極限，一個是周期勢場非常弱，弱到電子幾乎可看做是“自由”地運行的。這就是近自由電子近似。
另一個極限是周期勢場很強，強到電子幾乎只能在一個格點附近運動。但如果真嚴格到電子只能在晶格內(nèi)一個格點上運動，這個解就是平庸的。
比如電子處在第一個格點內(nèi)，電子的能量是E0，電子在第二個格點內(nèi)，電子的能量也是E0，……
我們對這個過分嚴格的條件稍加放松，允許電子可以有一定幾率出現(xiàn)在相鄰格點上，但絕對不允許電子出現(xiàn)在相鄰的相鄰格點上，這就是所謂緊束縛近似。
根據(jù)緊束縛近似的條件，電子的哈密頓算符應滿足：
上式右側第一項表示電子位于格點n時的能量是E0，同時電子還可以向左運動到格點n-1，向右運動到格點n+1，對應能量都是-Δ。
假設T(a)表示平移算符，a是晶格常數(shù)，對周期勢場V(x)=V(x+a)而言，哈密頓量H與平移算符T(a)是對易的，[H, T(a)]=0。
這意味著存在H和T(a)的共同本征態(tài)θ，
我們構造θ為電子位于不同格點n的所有本征態(tài)的疊加：
我們可以驗證θ確實是平移算符T(a)的本征態(tài)，
考慮到T(a)是平移算符，滿足：
所以：
考慮到T(a)是幺正算符，但不一定是厄米算符，所以T(a)的本征值不一定是實數(shù)。
現(xiàn)在來計算Hθ=?
為了理解上式中出現(xiàn)的參數(shù)θ，我們考慮波函數(shù)θ(x')和θ(x'-a)，
考慮：
由上式可知：θ=ka，這意味著在緊束縛近似下，薛定諤方程的能量本征值是：E(k)=E0-2Δcoska。
緊束縛近似下求解出來的色散關系E(k)
這個解是嚴格成立的，在推導過程中并沒有用到微擾論。
其次我們還可以得到：u(x'-a)=u(x')，這正是固體物理中的布洛赫定理。布洛赫定理說，電子在周期勢中的波函數(shù)θ(x')可表示為：
的形式，其中u是晶格a的周期函數(shù)。
值得一提的是在“近自由電子近似”下，我們把弱的周期勢V用微擾處理，布里淵區(qū)邊緣的地方由于電子能量接近而發(fā)生強烈的混合（簡并微擾，或近簡并微擾），導致能量本征值顯著地升高或降低，從而使色散關系明顯地偏離自由電子的色散關系（拋物線形）。
近自由電子近似下，電子色散關系在微擾理論下在布里淵區(qū)的邊界處打開一個能隙（gap）。
先給出答案，緊束縛近似用到了微擾論
在固體物理學中，緊束縛模型（或TB模型）是使用基于孤立原子的波函數(shù)的線性疊加的一組近似波函數(shù)來計算電子能帶結構的方法。 該方法與化學中使用的LCAO方法（原子軌道線性組合法）類似。 緊束縛模型應用于各種固體。在許多情況下，該模型給出了很好的定性結果。并且可以與其他模型結合，在緊束縛模型失效的情況下給出更好的結果。 雖然緊束縛模型是單電子模型，但該模型還為更高級的計算提供了基礎，如計算表面態(tài)、多體問題上的應用以及準粒子相關的計算。
提出背景
1928年，羅伯特·穆利肯（Robert Mulliken）提出了分子軌道的想法，弗里德里?！ず嗟拢‵riedrich Hund）的工作對他的想法有很大的啟發(fā)。后來分子軌道的LCAO方法于1928年由B.N.Finklestein和G.E.Howowitz引入。而LCAO固體方法由Felix Bloch發(fā)展，是他1928年博士論文的一部分，與LCAO-MO方法同時并且獨立研究。用于近似電子能帶結構的更簡單的方法，是由約克·克拉克·斯萊特（John Clarke Slater）和喬治·弗雷德·科斯特（George Fred Koster）在1954年構造的參數(shù)化緊束縛方法，該方法有時被稱為SK緊束縛法。特別是對于過渡金屬的d電子，該方法顯得非常適用。使用SK緊束縛方法，固體電子能帶結構計算不需要像原始布洛奇定理那樣以嚴格的方式進行，而是僅在高對稱點進行第一原理計算，而能帶結構在這些點之間的布里淵區(qū)域的其余部分可以內(nèi)插。
在這種方法中，不同原子之間的相互作用被認為是微擾。晶體哈密爾頓算子只是位于不同位置的原子哈密爾頓算子的總和，并且原子波函數(shù)與晶體中的相鄰原子位置重疊，因此波函數(shù)不是精確的表示。
最近，關于強關聯(lián)材料的研究中，緊束縛方法只作為基本近似，因為像3-d過渡金屬電子這樣的高度局域化電子有時顯示出強關聯(lián)的行為。在這種情況下，必須使用多體物理來描述電子 - 電子相互作用。
緊束縛模型通常用于計算靜態(tài)環(huán)境中的電子帶結構和帶隙。然而，結合隨機相位近似（RPA）模型等其他方法，也可以研究系統(tǒng)的動態(tài)過程。
原子附近的電子主要受到該原子的勢場作用，將其它原子對電子的作用看做微擾。將晶體中電子的波函數(shù)看作原子軌道波函數(shù)的線性疊加。
1. 基本思想
- 緊束縛近似
近自由電子近似方法認為原子實對電子的作用很弱，因而電子的運動基本上是自由的。其結果主要適用于金屬的價電子，但對其他晶體中的電子，即使是金屬的內(nèi)層電子也并不適用。在大多數(shù)晶體中，電子并不是那么自由的，即使是金屬和半導體中，其內(nèi)層電子也要受到原子實較強的束縛作用。當晶體中原子的間距較大，因而原子實對電子有相當強的束縛作用。因此，當電子距某個原子實比較近時，電子的運動主要受該原子勢場的影響，這時電子的行為同孤立原子中電子的行為相似。這時，可將孤立原子看成零級近似，而將其他原子勢場的影響看成小的微擾。這種方法稱為緊束縛近似 (Tight Binding Approximation)。
2. 哈密頓量的組成形式
- Tb model，在孤立原子軌道上的能量看成零級近似，而將其他原子勢場的影響看成小的微擾。
3. 電子波函數(shù)
- Tb model，晶體電子波函數(shù)由孤立原子軌道波函數(shù)線性疊加而成
定性討論
晶體中的周期性勢場為所有孤立原子的勢場之和
電子的波函數(shù)為原子軌道波函數(shù)的線性疊加
- ① 電子在原子間隧穿，在各原子附近有出現(xiàn)的幾率～|am|2
- ② N 個簡并態(tài)的簡并微擾。
- 一個原子能級ei對應一個能帶，不同的原子能級對應不同的能帶。當原子形成固體后，形成了一系列能帶
- 能量較低的能級對應的能帶較窄
- 能量較高的能級對應的能帶較寬
能帶結構
